Должен ли участник ООО оплачивать штрафы за него.

Здравствуйте Виктор.
С учетом специфики такой формы хозяйствующих субъектов как общество с ограниченной ответственностью, вы ка участник общества не несете субсидиарной ответственности по долгам ООО. Следовательно, общество должно отвечать по начисленному штрафу только в размере существующего уставного капитала. Если такового уже не существует, и он не было потрачен на ведение хозяйственной деятельности общества, то вы несете ответственность по оплате данного штрафа именно в пределах отсутствующего уставного капитала ООО.
Следовательно, при наличии уставного капитала, вы как участник общества с ограниченной ответственностью не обязаны оплачивать его долги за счет собственных средств, включая но не ограничиваясь штрафы налогового органа.
В данном случае самым простым способом избавиться от данного общества с ограниченной ответственностью будет уволить себя с поста директора (если кончено же вы им являлись) и попросту не подавать никакой отчетности в течении года. В этой ситуации налоговый орган примет решение о ликвидации ООО самостоятельно.