Восстановить свидетельство, выданное в союзной республике

Восстановить утерянное свидетельство о рождении, выданное в советской республике, в настоящее время можно только в консульстве (дипломатическом представительстве) соответствующего государства (если таковое имеется на территории РФ). То есть, в вашем случае это представительство (консульство) Эстонии. Больше вы такое свидетельство восстановить нигде не сможете. Разве что в самой Эстонии.